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抛物型偏微分方程的波形松弛算法

  在日益精细复杂和全面的数学模型以及网格和多核计算机的发展趋势下,大规模并行计算模拟的需求正在迅速增长.如何设计既反映模型本质又可在并行环境下快速运行的高性能计算方法,理所当然地成为了一个热门研究领域.我们注意到现有的并行算法中比较成熟的有椭圆问题的多重网格和区域分解算法,以及常微分方程的波形松弛算法.但是对于时间相关的偏微分方程的并行算法研究,则还十分欠缺.为此,我们选择了这两种成熟算法的结合点作为研究内容,即我们考虑抛物型偏微分方程的波形松弛算法.科学工程中的许多问题都是由抛物型偏微分方程描述的,其应用领域之广泛是周知的.我们认识到波形松弛算法可以带来时空局部自适应和大粒度并行两个好处.现有的对这类算法的研究仍处于较为初级的阶段,例如,并行实验还比较少,所涉及的应用模型局限于常系数的初值问题,一般收敛理论滞后,未能综合考虑时空同时并行.针对这些欠缺,我们对抛物方程的波形松弛算法进行了深入的研究.本论文的主要工作有四个内容:(一)我们考虑了抛物型方程周期问题的基于有限元离散的多重网格周期波形松弛算法.通过波形松弛解耦,我们只需求解规模非常小的周期子系统;另一方面,由于多重网格的加速效果,迭代也很快收敛.我们给出了时间连续和离散迭代算子的谱的表达式,为算法的定量分析提供了工具.在并行集群上实现了三维模型问题多重网格波形松弛的并行计算,结果表明了多重网格的加速收敛效果和选择合适松弛策略的重要性,以及算法良好的并行加速性能.(二)对于抛物方程时间周期问题,我们提出并分析了两种Schwarz周期波形松弛算法(与多重网格有密切联系,见第6章),它们分别使用重叠Dirichlet传输条件和Robin传输条件.对一般抛物周期问题,我们证明了Dirichlet传输算法的收敛性,得到了压缩率和重叠量的关系.对于Robin传输的算法,我们证明了算法的L2(0TH1)和C(0TL2)范数收敛性.特别是,我们允许Robin传输条件的参数依赖于空间和时间自变量.在这两种算法的分析中,我们克服了时间周期约束的困难.数值实验涵盖了对流占优、反应占优和变系数等各种情况,支持了我们的理论结果.(三)我们考虑了时空并行算法的构造,基于近十年发展起来的Laplace变换并行时间积分,我们提出并分析了空间-频率域的Schwarz波形松弛算法.我们发现在空间-频率域实现Schwarz波形松弛算法将带来很大的灵活性,从而节省计算量.我们分别证明了重叠Dirichlet和不重叠Robin传输Schwarz波形松弛算法的收敛性,其中为克服方程复系数的困难,分别建立了重要的引理.数值实验进一步支持了我们的理论结果,并且展示了对不同频率分量分别松弛的好处.(四)我们将波形松弛法用于求解有实际背景的网络扩散过程.为此,我们首先证明了模型在Sobolev空间框架下的适定性与正则性.然后提出并分析了基于DtN映射的传输条件,证明了它的最优性质.在它的提示下我们构造了和网络结构相适应的易于实现的Robin和动态传输条件.对于相应的Schwarz波形松弛算法,我们证明了它们的适定性和收敛性.数值实验展示了算法的有效性,对于模型问题,我们还发现算法的收敛速度与网络的分支数无关.在论文的最后,我们对所有工作进行了总结,并提出了值得继续研究的课题.

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