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离散ADI波形松弛方法的收敛性

  离散ADI波形松弛方法的收敛性_数学_自然科学_专业资料。本文探讨大规模隐式常微分方程初值问题的数值解法,重点讨论波形松弛方法。通过对连续时间交替方向隐式波形松弛(ADIWR)应用线性多步方法,建立离散时间迭代格式。随后,对有限时间区间情形,详细分析迭代矩阵的谱半径并由此获得迭代格式的收敛性结果。此外,应用Z-变换进一步探讨离散ADIWR在无限时间区间上的收敛性。最后,数值实验验证了所获理论结果并表明ADIWR有着良好的收

  第2卷 第6 5 期 2 0 年 1 月 08 2 工 程 数 学 学 报 v12 N . o 5 o6 . De . 0 8 c 2 0 CHI NES OURNAL OF EJ ENGI NEERI NG MATHEMATI CS 文章编 10-0520) —05 9 号: 5 8(080 16— 0 3 6 0 离散 AD 波形松 弛方法 的收敛 性术 I 黄玉芳, 黄乘明 ( 华中科技大学数学系,武汉 407 ) 304 摘 要:本文探讨大规模隐式常微 分方程初值 问题 的数值解法 ,重点讨论波形松 弛方法 。通过对连续时间 交替方 向隐式波形松弛 f W R 应用 线性 多步方法 ,建立离散 时间迭代格式 。随后 ,对有限时 ADI ) 间区间情形 ,详细分析迭代矩 阵的谱 半径并由此获得迭代格式的收敛性结果。此外 ,应用 z 变 一 换进一 步探 讨离散 AD WR在无 限时问区间上 的收敛性 。最后 ,数 值实验验证 了所获理论结果 I 并表明 ADI R有着 良好 的收敛速度。 W 关键词:交替方 向隐式波形松弛方法;线性多步法 ;收敛性 分类号: AM S 2 0 )6 L 5 6 F1 ; 4 8 (0 0 5 0 ; 5 0 3 K2 中图分类号: 4 . O2 1 8 文献标识码:A 1 引言 波形松 弛方法是利用并行计算机求解大型常微分方程组 ( DE ) O s 的一种高效并行迭代算法 , 最早是 由L l ame 等人在文献f 中,为求解 由集成 电路产 生的大规模常微分方程组而提 出来 ea s e r 1 1 的一类新型算法 。因为它能将一个非常大的系统分成若干个相互独立的小系统,然后每个小系 统又在并行机上各 自独立计算 ,从而大大提高计算效率 。近年来,该方法 已引起众 多学者 的广 泛关注,许 多重要结果 已见诸于文献。 已有 的波形松 弛方法包括一步波 形松弛方法 ,其中 比较经典 的有 J cb 波形松 弛,G us ao i a s — Sie波形松 弛,如 S n 和 Burg 在文献f 中详尽讨论过这两种算法。最近 ,P n B i N e l d ad ra e 2 ] a , a和 g 在文献f中提 出了两 步波形松 弛方法 。同时 ,他们 在文献[ 中又将 经典 的交替方 向隐 3 1 4 ] 式迭 代 f DI与 两 步 波 形 松 弛 巧妙 地 结 合 起 来 ,即 得 到所 谓 的交 替 方 向隐式 波 形 松 弛 方 A ) 法 f DI R 。该方法 既承 袭了两步波形松弛 的优 点,又保留了 A 方法 所特 有的 良好性能 。 A W ) DI 数值 实验表 明,A W R方法要 比一般的两 步波形松弛方法收敛得更快。 DI 在 文『 和文 『 中作者详尽 讨论 了AD WR方法 的连续解 的收 敛性 ,但是考虑 到连 续波形松 3 ] 4 1 I 弛要在计算机上 实现 ,连 续波形往往将被 离散波形所代替 。因此 ,研 究离散波形松弛的收敛性 同样 具有十分重要 的意义 。鉴于此,本 文考虑 用线性 多步法离散 AD 波形松弛,并研究相应离 I 散迭代格式 的收敛性 。 本 文 的结 构如下 :第 2 和第 3 节 节简 单回顾两步波 形松弛方 法和 AD 波 形松弛方法 的相关 I 理论知识,并在此基础之 上,在第 4 节详尽 讨论用 线性多步法 离散 A 波形松弛方法 ,进一步 DI 研 究其离散解在有限时间区 间和无 限时间区间上 的收敛 性,然 后通过 第 5 节的数值实验来验证 本文所做工作的有 效性,并进一步表明 AD W R方法较单步波形松弛方法 ,以及两步波形松弛 I 方法 J cb— 波形松 弛方法有着更快 的收敛速度 ,最后在 第 6 ao i GS 节总结全文 ,并 展望该领域的 研 究前景。 收稿 日期: 0 6 1.4 作 者简 介:黄玉芳(9 2 2 0 — 12 . 1 8 年生) ,女,硕士. 究方 向:微分方程数值解法. 研 基金项 目: 国家 自然科学基金 (07O 8;教育 部新世纪优秀人才支持计划( c T 0—6 8;留学 回国人员科研 16 17) N E 一50 3) 启动 基 金 . 16 06 工 程 数 学 学 报 第 2 卷 5 2 两步波形松弛方法 我们考虑线性隐式初值 问题 ( P I ) V BSt+A ( =,t, xO =X , t 0 c ) xt ( ) ( ) () o 其中 B, ∈C A ,且 B 非奇异 。 首先 ,对系数矩阵 B, 作如下分裂 B = M S1一 NB1= M B2一 NB2 , A = M AI— NA1= M A2一 』2 v () 1 , () 2 其中 MB (= 12 11 ,)都是非奇异的,于是我们可 以导出两步波 形松弛方法 M BI ( 。 + :+ / ) r 1 (+ / )= N B1 ) N A ( + 1 ( +f ) , , MB  ̄ +MA 南 =NB 圣 2 +NA 2 +. 2 (+ ) 2( ) + 2 ( /) + 2 ( /) 厂 + () 3 ( /) ) ( 10 = , k=012… . ¨。( =xk ) ) 0 + ( ,,, 消去中间变量( 。,可 以得到以下关系式 /) + ( = (( + £ )) ( +( )) ) () 4 其中 ? ( 的表达式见文献[。 (, ? ) ) 3